Arvupaar

Kasutatud lausetes (Matemaatika)

GEOGRAAFILISED KOORDINAADID - geograafilisest laiusest ja geograafilisest pikkusest koosnev arvupaar, mis näitab asukoha maakera pinnal. jagunevad: · GEOGRAAFILINE LAIUS-loetakse ekvaatorist põhja ja lõuna suunas. (pl.-põhjalaius, ll.-lõunalaius.)
Igale tasandi punktile vastab üks ja ainult üks ristkoordinaatidest moodustatud arvupaar ja vastupidi: igale arvupaarile vastab üks ja ainult üks tasandi punkt.
Kuid see ei tähenda sugugi seda, et mistahes arvupaar (x; y) oleks võrrandisüsteemi lahendiks.
Igale tasandi punktile vastab uks ja ainult uks ristkoordinaatidest moodustatud arvupaar ja ¨ ¨ vastupidi: igale arvupaarile vastab uks ja ainult uks tasandi punkt.
Vastus: Arvupaar x = 4 ja y = 3 on antud võrrandisüsteemi lahendiks.
Punkti P(x,y) polaarkoordinaatideks punkti A suhtes nimetatakse arvupaari ja , kus =|PA|=(x-a)2+(y-b)2 ja on nurk, mis tekib liikumisel x-telje suunaliselt vektorilt vektorile AP vastupäeva.
Näeme, et tegemist on ühe ja sama arvupaariga 5 ja 8, ainult teisel juhul on arvude kohad vahetatud (8 ja 5).
Igale tasandi punktile vastab u ¨ks ja ainult u¨ks ristkoordinaatidest moodustatud arvupaar ja vastupidi: igale arvupaarile vastab u ¨ks ja ainult u ¨ks tasandi punkt.
Näiteks üks regressor, 2 parameetrit: yi = axi + b + ui Kui meil on 1 objekt, st 1 arvupaar, ei saa määrata 2 parameetrit.
Kahe tundmatuga lineaarvõrrand TSG Võrrand · Kahe tundmatuga lineaarvõrrand sisaldab kahte esimeses astmes olevat tundmatut · Üldkuju: ax + by = c · x ja y on tundmatud · a, b ja c on arvud ehk võrrandi kordajad · Näiteks 2x 3y = 5 -7x + 5y = -12 Võrrandi lahend · Võrrandi lahendiks on järjestatud arvupaar, mille korral võrdus on tõene · Selliseid arvupaare on lõpmata palju Näiteks: võrrandi 2x y = 5 lahendiks on arvupaarid (2; -1), (5; 5), (4; 3), (1; -3) jne.
Reaalarvude paar (x;y) on kompleksarv, kui arvupaaride liitmine ja korrutamine toimub reeglitega ( x; y ) + ( x; y ) = ( x + x; y + y ) , ˆ ˆ ˆ ˆ (x; y )(x; y ) = (xx − yy; xy + xy ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Liitmise ja korrutamise omadused on 1) liitmine on kommutatiivne ja assotsiatiivne 2) liitmise suhtes leidub nullelement, milleks on reaalarv 0 3) igal kompleksarvul leidub vastandarv 4) korrutamine on kommutatiivne ja assotsiatiivne 5) korrutamine ja liitmine on seotud distributiivsusega 6) korrutamise suhtes leidub ühikelement, milleks on reaalarv 1 7) igal nullist erineval kompleksarvul leidub pöördarv 8) 0 z = z 0 = 0 iga z ∈ C korral Kompleksarvu algebraline kuju on z = x + yi , mis saadakse, kui arvupaar (0;1) on tähistatud i’ga ehk i = (0;1) ning teisendada: z = ( x; y ) = ( x;0) + (0; y ) = x + y (0;1) Deﬁnitsioon.
Kui meil on 1 objekt, st 1 arvupaar, ei saa määrata 2 Y parameetrit.
Kompositsiooniks nimetatakse relatsiooni hulgast A hulka C, mis on defineeritud järgmiselt: R S = { (a,c) | leidub b , nii et (a,b) R ja (b,c) S } Näide: Täisarvude hulgal on antud kaks relatsiooni R={(a,a+1) | aZ} ja S={(a,2a) | aZ} Arvupaar (a,c) kuulub relatsiooni R S parajasti siis kui leidub selline b, et (a,b) R ja (b,c) S mis tähendab, et b=a+1 ja c=2*b millest järeldub, et c=2*(a+1)=2a+2.
Kui meil on 1 objekt, st 1 arvupaar, ei saa määrata 2 parameetrit.
See on nii sellep¨rast, et funktsioonid y = f (x) ja x = g(y) a m¨¨ravad uhed ja samad arvupaarid (x, y), seega ka uhed ja samad punktid aa ¨ ¨ P = (x, y) tasandil.
See on nii sellep¨arast, et funktsioonid y = f (x) ja x = g(y) m¨a¨aravad u¨hed ja samad arvupaarid (x, y), seega ka u ¨hed ja samad punktid P = (x, y) tasandil.
Võrrandsüsteemi lahendiks on arvupaar x=1 ja y=2.
Igale punktile (x,y)D seatakse vastavusse arvupaar (u,v).
Selline arvupaar määrab tasandil punkti.
Olgu arvud x ja y, vastavalt ülesande tingimustele saame võrrandisüsteemi, x y 6(1) xy 247(2) mille lahendame asendusvõttega: avaldame (1) võrrandist x-i (võib ka y-i) ja asendame (2) võrrandi x-i (või y-i). (1) x = y +6 Asendades (2) võrrandis x-i, saame (y +6)y = 247 y² +6y = 247 y² +6y 247 = 0 y = -3 9 247 = -3 256 = -3 16 y 1 = -19 või y 2 = +13 1) kui y 1 = -19, siis x 1 = y 1 +6 = -19 +6 = -13 x1 13 y1 19 Kontroll: -13(-19 = 247 arvupaar -13 ja -19 rahuldab ülesande tingimusi 2) kui y 2 = 13, siis x 2 = y 2 +6 = 13 +6 = 19 x2 19 y2 13 Kontroll: 19 -13 = 6 ja 19 13 = 247 ka II lahend sobib (st arvupaar 19 ja 13 rahuldab ülesande tingimusi) Vastus: need arvud on -19 ja -13 või 13 ja 19 NB!
Kahe tundmatuga võrrandi lahend - Ül.909 järjestatud arvupaar; lõpmatu hulk Võrrand 4u+0,5v=2 lahendeid; võrrandi ax+by=c lahend Antud u {1;-0,5;-3,5} kirjutatakse kujul: Leida võrrandi lahendid x=p y=q või need kaks võrdust üksteise alla ja ette loogeline sulg või (p;q) 1)kui u=1, siis 4 1+0,5v=2; 0,5v=2-4; 0,5v=-2; v=-4; lahend on (1;-4) NB lahendite leidmisel vajadusel kasutada 2)kui u=-0,5, siis 4 (-0,5)+0,5v=2; ühe tundmatu avaldamist teise kaudu 0,5v=2+2; 0,5v=4; v=8; lahend on (lihtsam arvutada) (-0,5;8) 3)kui u=-3,5, siis 4 (-3,5)+0,5v=2; 0,5v=2+14; 0,5v=16; v=32; lahend on (-3,5;32) NB tundmatu v avaldamine: 0,5v=2-4u; v=(2-4u):0,5; v=4-8u; arvutada viimase seose järgi v väärtused 4.
S¨steem (1.6) m¨¨rab iga t ∈ [T1 , T2 ] korral uhe kindla arvupaari ehk tasandi u aa ¨ ¨ punkti ristkoordinaatidega (x, y) = (ϕ(t), ψ(t)).
Olgu arvud x ja y, vastavalt ülesande tingimustele saame võrrandisüsteemi, x - y = 6(1) xy = 247(2) mille lahendame asendusvõttega: avaldame (1) võrrandist x-i (võib ka y-i) ja asendame (2) võrrandi x-i (või y-i). (1) x = y +6 Asendades (2) võrrandis x-i, saame (y +6)y = 247 y² +6y = 247 y² +6y 247 = 0 y = -3 ± 9 + 247 = -3 ± 256 = -3 ± 16 y 1 = -19 või y 2 = +13 1) kui y 1 = -19, siis x 1 = y 1 +6 = -19 +6 = -13 x1 = - 13 y1 = - 19 Kontroll: -13(-19 = 247 arvupaar -13 ja -19 rahuldab ülesande tingimusi 2) kui y 2 = 13, siis x 2 = y 2 +6 = 13 +6 = 19 x2 = 19 y2 = 13 Kontroll: 19 -13 = 6 ja 19 × 13 = 247 ka II lahend sobib (st arvupaar 19 ja 13 rahuldab ülesande tingimusi) Vastus: need arvud on -19 ja -13 või 13 ja 19 NB!
Nii saame näiteks lahenditeks arvupaarid (0; 2), (1; 1), (2; 0), (3; -1) jne.
Seega relatsioon R S kujutab arvupaare (a,2a+2) ehk R S = { (a,2a+2) | aZ } Ülesanne 4: Leida eelmise näite põhjal S R Ülesanne 5: R={(1,2),(1,6),(2,4),(3,4),(3,6),(3,8)} ja S={(2,u),(4,s),(4,t),(6,t),(8,u)} Leida R S ja S R.
1) 0,325 0,465= -0,14 2) 0,35 : (-0,14)= -35 : 14= -2,5 3) 2,71 2,87= 0,16 4) -0,16 : (-0,8)= 0,2 5) -2,5 + 0,2= -2,3 24. 2x + 3y = 1 | ·(-5) 5x 4y = 14 | · 2 -10x 15y = -5 10x 8y = 28 -23y = 23 y = -1 2x + 3 · (-1) = 1 2x 3 = 1 2x = 4 x = 2 Ladendiks on arvupaar (2; -1) 25.

Liited

arvupaar-e
arvupaar-i
arvupaar-id
arvupaar-ide
arvupaar-idena
arvupaar-idesse
arvupaar-iga
arvupaar-ile
arvupaar-ina